Note
구간 합 알고리즘을 활용하여 해결하는 기본 문제입니다.
문제
수 N개가 주어졌을 때, i번째 수부터 j번째 수까지 합을 구하는 프로그램을 작성하시오.
문제 링크: https://www.acmicpc.net/problem/11659
입력
첫째 줄에 수의 개수 N과 합을 구해야 하는 횟수 M이 주어진다. 둘째 줄에는 N개의 수가 주어진다. 수는 1,000보다 작거나 같은 자연수이다. 셋째 줄부터 M개의 줄에는 합을 구해야 하는 구간 i와 j가 주어진다.
출력
총 M개의 줄에 입력으로 주어진 i번째 수부터 j번째 수까지 합을 출력한다.
제한
- 1 ≤ N ≤ 100,000
- 1 ≤ M ≤ 100,000
- 1 ≤ i ≤ j ≤ N
예제
입력:
5 3
5 4 3 2 1
1 3
2 4
5 5
출력:
12
9
1
문제 분석
이 문제는 구간 합 알고리즘을 직접 적용할 수 있는 대표적인 문제입니다.
시간 복잡도 고려
- N과 M이 최대 100,000이므로, 단순히 매번 구간의 모든 원소를 더하는 방법(O(N × M))은 시간 초과가 발생할 수 있습니다.
- Prefix Sum 알고리즘을 사용하면 O(N + M) 시간에 해결할 수 있습니다.
해결 방법
구간 합 알고리즘을 사용하여 해결합니다:
- 입력을 받으면서 누적 합 배열을 생성합니다.
- 각 쿼리마다
Sum[j] - Sum[i-1]을 계산하여 구간 합을 출력합니다.
코드 구현
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(NULL);
cout.tie(NULL);
int N, M;
cin >> N >> M;
int Sum[100001] = {};
// 누적 합 배열 생성
for (int i = 1; i <= N; i++)
{
int temp;
cin >> temp;
Sum[i] = Sum[i - 1] + temp;
}
// 구간 합 계산 및 출력
for (int i = 0; i < M; i++) {
int start, end;
cin >> start >> end;
// 구간 합 = Sum[end] - Sum[start-1]
cout << Sum[end] - Sum[start-1] << "\n";
}
return 0;
}코드 설명
-
입출력 최적화:
ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(NULL),cout.tie(NULL)을 사용하여 입출력 속도를 향상시킵니다. -
누적 합 배열 생성:
Sum[0] = 0으로 초기화됩니다.- 입력을 받으면서 동시에
Sum[i] = Sum[i-1] + temp로 누적 합을 계산합니다.
-
구간 합 계산:
- 각 쿼리마다
Sum[end] - Sum[start-1]을 계산합니다. - 예를 들어, 2번째부터 4번째까지의 합은
Sum[4] - Sum[1]로 구할 수 있습니다.
- 각 쿼리마다
예제 동작 과정
입력: 5 4 3 2 1
누적 합 배열 생성:
Sum[0] = 0
Sum[1] = 0 + 5 = 5
Sum[2] = 5 + 4 = 9
Sum[3] = 9 + 3 = 12
Sum[4] = 12 + 2 = 14
Sum[5] = 14 + 1 = 15
쿼리 처리:
1 3: Sum[3] - Sum[0] = 12 - 0 = 122 4: Sum[4] - Sum[1] = 14 - 5 = 95 5: Sum[5] - Sum[4] = 15 - 14 = 1
주의사항
Warning
원래 제공된 코드에서는
cout << Sum[end] << "\n";로만 출력하고 있었는데, 이는 누적 합 배열의 끝값만 출력하는 것이므로 올바른 구간 합이 아닙니다.Sum[end] - Sum[start-1]로 수정해야 합니다.
시간 복잡도
- 누적 합 배열 생성: O(N)
- 각 쿼리 처리: O(1)
- 전체 시간 복잡도: O(N + M)