BOJ 2805: 나무 자르기

Note

이분 탐색(Binary Search)의 변형인 매개 변수 탐색(Parametric Search)을 활용하여 해결하는 문제입니다.

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문제

상근이는 나무 M미터가 필요하다. 근처에 나무를 구입할 곳이 모두 망해버렸기 때문에, 정부에 벌목 허가를 요청했다. 정부는 상근이네 집 근처의 나무 한 줄에 대한 벌목 허가를 내주었고, 상근이는 새로 구입한 목재절단기를 이용해서 나무를 구할것이다.

목재절단기는 다음과 같이 동작한다. 먼저, 상근이는 절단기에 높이 H를 지정해야 한다. 높이를 지정하면 톱날이 땅으로부터 H미터 위로 올라간다. 그 다음, 한 줄에 연속해있는 나무를 모두 절단해버린다. 따라서, 높이가 H보다 큰 나무는 H 위의 부분이 잘릴 것이고, 낮은 나무는 잘리지 않을 것이다. 예를 들어, 한 줄에 연속해있는 나무의 높이가 20, 15, 10, 17이라고 하자. 상근이가 높이를 15로 지정했다면, 나무를 자른 뒤의 높이는 15, 15, 10, 15가 될 것이고, 상근이는 길이가 5인 나무와 2인 나무를 들고 집에 갈 것이다. (총 7미터를 집에 들고 간다) 절단기에 설정할 수 있는 높이는 양의 정수 또는 0이다.

상근이는 환경에 매우 관심이 많기 때문에, 나무를 필요한 만큼만 집으로 가져가려고 한다. 이때, 적어도 M미터의 나무를 집에 가져가기 위해서 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

문제 링크: https://www.acmicpc.net/problem/2805

입력

첫째 줄에 나무의 수 N과 상근이가 집으로 가져가려고 하는 나무의 길이 M이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000,000, 1 ≤ M ≤ 2,000,000,000)

둘째 줄에는 나무의 높이가 주어진다. 나무의 높이의 합은 항상 M보다 크거나 같기 때문에, 상근이는 집에 필요한 나무를 항상 가져갈 수 있다. 높이는 1,000,000,000보다 작거나 같은 양의 정수 또는 0이다.

출력

적어도 M미터의 나무를 집에 가져가기 위해서 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값을 출력한다.

예제

예제 입력 1:

4 7
20 15 10 17

예제 출력 1:

15

예제 입력 2:

5 20
4 42 40 26 46

예제 출력 2:

36

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문제 분석

이 문제는 매개 변수 탐색(Parametric Search)을 사용하는 전형적인 문제입니다.

핵심 포인트

1. 절단 높이: 절단 높이 H를 조절하여 나무를 자름
2. 조건: 얻은 나무의 양이 M 이상이어야 함
3. 목표: 조건을 만족하는 H의 최댓값

매개 변수 탐색

• 탐색 범위: 0 ~ max(나무 높이)
• 조건 함수: 절단 높이 H로 얻을 수 있는 나무의 양 >= M
• 목표: 조건을 만족하는 H의 최댓값

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해결 방법

매개 변수 탐색을 사용합니다:

1. 절단 높이의 범위를 설정 (0 ~ max(나무 높이))
2. 중간값을 절단 높이로 설정
3. 얻을 수 있는 나무의 양 계산
4. M 이상이면 더 높은 절단 높이 시도 (최댓값 찾기)
5. M 미만이면 더 낮은 절단 높이 시도
6. 반복

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코드 구현

제공된 코드

n, m = map(int, input().split()) # 나무의 수 / 필요한 나무의 길이
 
woods = list(map(int, input().split()))
 
min_h = 0
max_h = max(woods)
result = 0
while min_h <= max_h:
    h = (min_h + max_h) // 2
 
    margin = 0
    for i in range(n):
        margin += max(woods[i] - h, 0)
    
    if margin == m:
        result = h
        break
 
    if margin > m:
        min_h = h + 1       
 
    if margin < m:
        max_h = h - 1
        
if result > 0:
    print(result)
else:
    print(max(min_h - 1, 0))

코드 분석

1. 입력 처리

n, m = map(int, input().split())
woods = list(map(int, input().split()))

• 나무의 수 N과 필요한 나무의 길이 M을 입력받음
• 나무의 높이를 리스트에 저장

2. 이분 탐색 범위 설정

min_h = 0
max_h = max(woods)
result = 0

• min_h: 절단 높이의 최솟값 (0)
• max_h: 절단 높이의 최댓값 (가장 높은 나무의 높이)

3. 이분 탐색

while min_h <= max_h:
    h = (min_h + max_h) // 2
 
    margin = 0
    for i in range(n):
        margin += max(woods[i] - h, 0)

나무 양 계산:

• 각 나무에서 절단 높이를 뺀 값 (음수면 0)
• 모든 나무에서 얻을 수 있는 나무의 양을 합산

4. 조건 확인 및 범위 조정

    if margin == m:
        result = h
        break
 
    if margin > m:
        min_h = h + 1       
 
    if margin < m:
        max_h = h - 1

조건에 따른 조정:

• margin == m: 정확히 M을 얻음 → 결과 저장 후 종료
• margin > m: M보다 많이 얻음 → 더 높은 절단 높이 시도
• margin < m: M보다 적게 얻음 → 더 낮은 절단 높이 시도

5. 결과 출력

if result > 0:
    print(result)
else:
    print(max(min_h - 1, 0))

• 정확히 M을 얻은 경우 result 출력
• 그렇지 않으면 min_h - 1 출력 (조건을 만족하는 최댓값)

개선된 코드

더 명확하고 효율적으로 작성한다면:

import sys
 
readline = sys.stdin.readline
 
n, m = map(int, readline().split())
woods = list(map(int, readline().split()))
 
left, right = 0, max(woods)
result = 0
 
while left <= right:
    height = (left + right) // 2
    
    # 얻을 수 있는 나무의 양 계산
    total = sum(max(wood - height, 0) for wood in woods)
    
    if total >= m:
        # M 이상을 얻을 수 있으면 더 높은 절단 높이 시도
        result = height
        left = height + 1
    else:
        # M 미만이면 더 낮은 절단 높이 시도
        right = height - 1
 
print(result)

개선 사항:

• 입력 최적화를 위해 sys.stdin.readline() 사용
• 변수명을 더 명확하게 (min_h → left, max_h → right, h → height)
• 리스트 컴프리헨션 사용
• total >= m 조건으로 통일 (정확히 같을 필요 없음)
• 결과 처리 간소화

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시간 및 공간 복잡도

시간 복잡도

• 이분 탐색: O(log(max(woods)))
• 나무 양 계산: O(n) - 각 탐색마다
• 전체: O(n log(max(woods)))

공간 복잡도

• 나무 리스트: O(n)
• 전체: O(n)

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예제 동작 과정

예제 입력 1: n=4, m=7, woods=[20, 15, 10, 17]

이분 탐색 과정:

1. left=0, right=20, height=10

   • total = (20-10) + (15-10) + 0 + (17-10) = 10 + 5 + 0 + 7 = 22
   • 22 >= 7 → result=10, left=11

2. left=11, right=20, height=15

   • total = (20-15) + 0 + 0 + (17-15) = 5 + 0 + 0 + 2 = 7
   • 7 >= 7 → result=15, left=16

3. left=16, right=20, height=18

   • total = (20-18) + 0 + 0 + (17-18) = 2 + 0 + 0 + 0 = 2
   • 2 < 7 → right=17

4. left=16, right=17, height=16

   • total = (20-16) + 0 + 0 + (17-16) = 4 + 0 + 0 + 1 = 5
   • 5 < 7 → right=15

5. left=16, right=15 → 종료

결과: 15

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매개 변수 탐색의 핵심

조건 함수

def is_valid(height):
    total = sum(max(wood - height, 0) for wood in woods)
    return total >= m

이 함수는 주어진 절단 높이로 M 이상의 나무를 얻을 수 있는지 확인합니다.

최댓값 찾기

조건을 만족하는 값 중 최댓값을 찾으므로:

• 조건을 만족하면 → 더 큰 값 시도 (left = mid + 1)
• 조건을 만족하지 않으면 → 더 작은 값 시도 (right = mid - 1)

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주의사항

1. 오버플로우 방지

큰 값에서 (left + right) // 2를 계산할 때:

# 안전한 방법
height = left + (right - left) // 2

2. 결과 처리

total == m인 경우를 찾지 못할 수 있으므로, total >= m 조건을 사용합니다.

3. 입력 최적화

N이 최대 1,000,000이고 M이 최대 2,000,000,000이므로 input() 대신 sys.stdin.readline()을 사용해야 합니다.

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관련 알고리즘

• 이분 탐색 (Binary Search)
• Python 입력 최적화
• 매개 변수 탐색 (Parametric Search)